مفارقة باناخ – تارسكي الأكثر إثارة في الرياضيات

مفارقة باناخ – تارسكي.. المفارقة الأكثر إثارة للحيرة والدهشة في الرياضيات !

مصدر المقال : https://www.salmimath.com/2016/06/banach-tarski-paradox.html

هل حاولت من قبل أن تحضر كرة لها قطر معين وتقوم

 بتجزئتها إلى 5 قطع، ومن ثم تجميعها مرة أخرى من

 دون أي تغيير في شكل القطع (يُسمح فقط تحريك

 القطع وتدويرها)، فتصبح كرتان، لهما نفس شكل

 وحجم الكرة الأصلي؟!

(الكرة يمكن أن تـُكـَسـَّـر إلى عدد محدود من فئات النقاط، ثم

 يعاد تجميعها في كرتين مماثلتين للكرة الأصلية.)

أو قمت بتجربة أن تحضر قالباً من الشيكولاته

 وتقوم بتجزئته ومن ثم عمل تدوير وتغيير لمكان

 القطع، فتجد أن الحجم سيقل عن الحجم

 الأصلي؟! عليك بالتجربة الآن..

الحقيقة إنه شيء مدهش، وهذا هو المعروف

 بـ مفارقة باناخ – تارسكى Banach – Tarski Paradox.

تعريف مفارقة باناخ – تارسكي 
وفقا لتعريف الفيلسوف الإنجليزي مارك

 سينسبري، المفارقة تعني:

خاتمة قد تبدو غير مقبولة، مستمدة 

من فرضيات قد تبدو مقبولة

من خلال منطق قد يبدو مقبولاً

والكلمة مستوحاة من الثقافة اليونانية

 القديمة وتفسيرها: para بجانب، doxa إيمان،

 رأي. المعنى الأصلي هو شيء يبدو للوهلة

 الأولى بدون قيمة أو غير ممكن، ولكن بعد

 تفكير عميق يتضح أنه صحيح!

والمفارفة في المنطق الرياضي هي جملة

 خبرية تناقض المنطق، فلا يمكن أن نقول 

عنها أنها صحيحة، كما لا يمكن أن نقول أنها

 خاطئة، فإذا أخذنا الجملة الآتية : “أنا أكذب

 الآن” فإذا افترضنا أنني صادق يعني أن

 الجملة صحيحة الأمر الذي يناقض كوني

 صادقاً، أما إذا افترضنا أنني كاذب فالجملة 

خاطئة ونفيها صحيح، أي أنني صادق 

ويناقض كوني كاذباً.

مفارقة باناخ – تارسكي



مفارقة باناخ – تارسكي تعتبر من أكثر المفارقات المثيرة للدهشة 

والحيرة فى علم الرياضيات. لذلك تُعرف باسم المفارقة السحرية.

 نص المفارقة: إذا قمت بتقسيم كرة ذات

 حجم أو قطر يساوي (أ) بطريقة معينة ثم

 قمت بتجميع هذه الأجزاء بطريقة معينة،

 فإنه يمكنك أن تكون كرتين من الحجم أو القطر (أ).

وهنا تكمن المشكلة فى نص المفارقة 

من خلال أنه حينما تريد أن تجمع الكرة مرة 

أخرى بعد تجزئتها، فتجد أن هناك حجماً آخر

 مضافاً لا يُعلم مصدره (جزء سحري). باناخ وتارسكي

 برهنا صحة وإمكانية وجود هذه الظاهرة رياضياُ 

ونظرياً ولكن فقط وفقاً لمبدأ بديهية الاختيار،

ولقد اعتبراها نقداً لصحة هذا المبدأ الذي

 طالما كان مثيراً للجدل.

حيث أن جميع القوانين المستخدمة في الإثبات

 تحفظ الحجم وبهذا يكون الخطأ راجعاً للمبدأ. 

فعند استخدام مبدأ غرابة الاختيار -المرشح 

حديثاً كبديل- مثلاً لا يمكن إثبات المفارقة.

 ولكن علماء الرياضيات البحتة لا زالوا يتمسكون

 بالمبدأ لاعتقادهم بوجود خطأ في مكان

 ما في مثل هذا الإثباتات غير المنطقية.

فقد قمنا بسؤال علم الرياضيات عن 

هذة المفارقة، قال: نعم، ولكن لماذا لا

 يمكن تطبيق هذه النظريّة على أرض الواقع؟

لكن، أي مادة (كما المعروف)، لا يمكن

 تقسيمها إلى مالانهاية، ولو كان هذا 

مسموحاً كان من السهل تطبيق هذة

 المفارقة. لكن مع وجود هذة المفارقة

 نرى اختفاء لتعريف الحجم، بمعنى: إذا

 حاولنا مع هذه النظرية تعريف الحجم

 فيصبح التعريف المنطقي بما يناسب

 النظرية (2=1)، وهذا مايخالف المنطق

 الرياضي المتبع.

ولهذة النظرية شكل آخر: إذا كان معك كرة

 بحجم (كرة تنس الطاولة) وقمت بتجزئتها

 أيضاً ومن ثم إعادة تجميعها، فيصبح معك

 كرة بحجم قرص الشمس. وهذا هو الغريب

 والمدهش والعجيب في هذه المفارقة، في

 أنها تبحر بخيالك وتخبرك بأشياء بعيدة عن

 المنطق. لذلك نجد في علم الرياضيات ما

 قد يرفضه الواقع لكن يسمح به الخيال،

 ولا شيء يكون مرفوضاً في عالم الخيال. - 
# خاتمة  علم الرياضيات مليء بالألغاز البعيدة عن

 المنطق البشري، فهو كان السبب الرئيسي لوضع 

الخوارزميات التى نحن نعيش فيها الآن، التي هي

 سبب كل التقدم والتكنولوجيا والازدهار الذي ينمو

 فيه الانسان الآن، فهو العلم الذي كان السبب في

 ظهور وتقدم الحواسب الشخصية والهواتف المحمولة

 وكل وسائل الاتصال، وكان سبب اتصالنا بالفضاء

 الخارجي وغيرها من مظاهر التقدم والرقي والتكنولوجيا.

 هذة المفارقة من المفارقات التي تكون بعيدة كل البعد 

عن المنطق الرياضي المتبع لنا، ولكنها تصيبك بدهشة

 وحيرة حين تقرأ عنها. لكن أقول لك إنها بعيدة كل البعد 

عما نحن نتبعه من قوانين وتحليلات في علم الرياضيات،

 لأن هناك احتمالين الأول هو اختفاء تعريف الحجم، والثاني

 هو ظهور جزء غريب عنا سحري مخفي لانعرف

 عنه شيئاً من قبل في الواقع لكنه ظهر مع المفارقة،

 لكن لا شيء يكون بعيداُ عن كوننا المثير للدهشة،

 فكل شيء حولنا غامض ومخيف، فلا تحرم

 نفسك من متعة المشاهدة والتأمل! -

الموضوع الثاني :

فيم كلاين  __  الآلة الحاسبة البـشــرية.

إضافة تسمية توضيحية

Après avoir été calculateur à l'Institut de Mathématiques d'Amsterdam, Wim Klein se produisit dans des cirques en France¹ et aux Pays-Bas jusqu'à ce qu'en 1958 le CERN le recrute.
À l'inverse de nombreux calculateurs, Klein avait reçu
une instruction mathématique élémentaire et ses dons naturels ont pu être orientés vers les calculs scientifiques où les machines électromécaniques des années 1930-1960, insuffisamment spécialisées, ne donnaient qu'une aide très partielle : décomposition de nombres en facteurs premiers ou en sommes de carrés, conversion binaire-décimal².

Klein avait appris par cœur la table de logarithmes à cinq décimales des entiers de 1 à 150. Ainsi, lorsqu'on lui demandait de calculer la racine n-ième d'un nombre, il décomposait en facteurs premiers le nombre (éventuellement multiplié par une puissance de 10 convenable), additionnait les logarithmes de facteurs et retrouvait le nombre dont le logarithme était le plus proche du résultat obtenu³.

Voici un aperçu de ses performances :  

Il calcula en une quinzaine de secondes⁴ le produit 231 789 × 156 727  
Il donna en une dizaine de secondes⁵ une décomposition en carrés de 7914 = et, presque immédiatement, une autre solution () ;  
Il calcula la racine 13^e d'un nombre de 100 chiffres en 89 secondes ;  
Le 27 août 1976, il calcula la racine 73^e d'un nombre de 500 chiffres en 2 minutes 43 secondes. Cet exploit a été enregistré par le Guinness Book of Records.          

Confronté au Pr. Alexander Aitken à l'occasion du Congrès international des mathématiciens de 1954, il surpassa son rival dans les opérations arithmétiques élémentaires, les décompositions en carrés, les calculs avec logarithmes ou sinus, et les calculs de calendrier⁶.

Klein prit sa retraite en 1976. Le 1^er août 1986, il fut poignardé à mort dans son appartement d'Amsterdam. Le meurtrier n'a jamais été identifié.

https://www.youtube.com/watch?v=M1fuw2CRVYE

• غرد
• مشاركة